一道高中题-求三角形的外接圆的直径

已知三角形的三个边的边长分别是40， 39, 25，求这个三角形的外接圆的直径。

解法1：高中的解法

如图，做个简图，

设25和39的两个边的夹角为α， 根据余弦定理

由此可以求出

sinα=24/25

根据正弦定理

2R=40/sinα=40/(24/25)=125/3,

这就是所求的外接圆的直径。

解法2： 初中解法

利用公式三角形的面积S=abc/(4R), 求出R，

这个公式的证明很容易，因为根据正弦定理：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,

所以sinC=c/2R

由于三角形的面积公式为S=ab/2(sinC),

将sinC=c/2R 带入上面的公式里：

就证得S=abc/(4R)

而根据三边是按照海伦公式是可以计算出三角形的面积，

得出S=39x12,

所以2R=abc/(2S)=40x39x25/(2x39x12)=125/3

总结一下有关解三角形面积的方法：

1. 直接按照定义底边乘以高在除以2， S=ah/2,
2. 给定三角形的三个边可以根据海伦定理直接带入后计算。
3. 利用公式S=abc/(4R)
4. 利用公式S =(ab/2)sinC